Matemática

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La matemática (del griego μάθημα, máthema: ciencia, conocimiento, aprendizaje, μαθηματικóς, mathematikós: amante del conocimiento) es la ciencia que estudia las cantidades y las formas, sus relaciones, así como su evolución en el tiempo. En español también se puede usar el término en plural, matemáticas.

Aunque la matemática sea la supuesta "Reina de las Ciencias", algunos matemáticos no la consideran una ciencia natural. Principalmente, los matemáticos definen e investigan estructuras y conceptos abstractos por razones puramente internas a la matemática, debido a que tales estructuras pueden proveer, por ejemplo, una generalización elegante, o una herramienta útil para cálculos frecuentes. Además, muchos matemáticos consideran la matemática como una forma de arte en vez de una ciencia práctica o aplicada. Sin embargo, las estructuras que los matemáticos investigan frecuentemente sí tienen su origen en las ciencias naturales, y muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas, particularmente en la Física.

La matemática es un arte, pero también una ciencia de estudio. Informalmente, se puede decir que es el estudio de los "números y símbolos". Es decir, es la investigación de estructuras abstractas definidas a partir de axiomas, utilizando la lógica y la notación matemática. Es también la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. Se trata de relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los métodos por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas.

Véase también: Filosofía de la matemática

No es infrecuente encontrar a quien describe la matemática como una simple extensión de los lenguajes naturales humanos, que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, sin embargo, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español y el francés) y los lenguajes formales (como la matemática y los lenguajes de programación) son estructuras de naturaleza básicamente diferente.

Tabla de contenidos

Etimología

La palabra "matemáticas" (Griego: μαθηματικά) viene del griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir "aprendizaje", "lo que puede ser aprendido", "estudio", "ciencia" y, adicionalmente, vino a tener el significado más técnico y reducido de "estudio matemático", aún en los tiempos clásicos. Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), "relacionado al aprendizaje" o "estudioso", lo cual de manera similar, vino a significar "matemático". En particular, μαθηματική τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), en latín ars mathematica, significa "el arte matemática".

La forma plural aparente en inglés, Mathematics, así como en francés la forma plural les mathématiques (y la menos comúnmente usada derivación singular la mathématique), viene del plural neutro en latín mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles, y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas". A pesar de la forma y de la etimología, la palabra, como los nombres de las artes y las ciencias en lo general, es algunas veces usada en singular en español.

Historia

Instrumentos para
cálculos matemáticos
Antiguos
Ábaco
Ábaco de Napier
Regla de cálculo
Regla y compás
Cálculo mental
Nuevos
Calculadoras
Ordenadores:
(Lenguajes de programación
software especializado)

Históricamente, la matemática surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisión amplia de las matemáticas en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.

El estudio de la estructura comienza con los números, inicialmente los números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números.

La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio. El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría.

La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y el cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, y de las soluciones a estas ecuaciones, se estudian las ecuaciones diferenciales.

Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, que se denomina Análisis.

Por razones matemáticas, es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo.

El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto.

Un campo importante en matemáticas aplicadas es la probabilidad y la estadística, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias.

El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.

Crisis históricas

La matemática ha pasado por tres crisis históricas importantes:

  1. El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos, la existencia de los números irracionales que de alguna forma debilitó la filosofía de los pitagóricos.
  2. Aparición del cálculo en el siglo XVII, con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales
  3. La tercera fue el hallazgo de las antinomias, como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX, que atacaban los mismos cimientos de la materia
Fuente: El dedo de Galileo. Peter Atkins. En Espasa Calpe-2003

Ver: Medallas Fields - Millennium Prize Problems (Clay Math Prize) - Competiciones matemáticas - Matemática en el mundo - Matemática en Bizancio - Matemática en el Islam medieval

Categorías

Una división básica de las ramas de la Matemática establece las siguientes categorías:

  1. Aritmética, estudia las operaciones con números.
  2. Geometría, se encarga de las formas, el espacio y sus relaciones.
  3. Topología, estudia relaciones de cercanía en los espacios (llegando de esta forma a otro tipo de estudio de las formas distinto del que se analiza en la geometria).
  4. Análisis o cálculo, trata las funciones y el calculo diferencial e integral.
  5. Cálculo numérico, trata de la resolución numérica o aproximada de problemas particulares (mediante algoritmos llamados métodos numéricos).
  6. Álgebra, o estudio de las estructuras, conjuntos, lenguajes simbólicos, ecuaciones, etc.
  7. Probabilidad y Estadística que abarcan, respectivamente, el estudio teórico del azar y la descripción matemática de poblaciones.

Cada una de estas categorías se divide a su vez en pura o abstracta, en donde se consideran las magnitudes o cantidades sin relación a la materia, y en aplicada, la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales y, por consecuencia, se relaciona con consideraciones físicas.

Los profesionales de la Matemática suelen considerar esta división simplista, sesgada e ingenua. También parece desfasada la categorización "a la Kant" de decir que la Matemática se puede describir en la Matemática de la Estructura, la Matemática del Espacio y la Matemática del Cambio. Hoy en día las interrelaciones y los objetos de estudio dentro de la Matemática son tan amplios que tiende a considerarse que las distintas ramas no son categorías estancas, independientes unas de otras, sino que hasta las ramas más puras toman prestados conocimientos y resultados de otras. Así, la Matemática moderna empieza a perfilarse como una unidad de contenido, en el que las diversas ramas no son otra cosa que colecciones de herramientas distintas para afrontar sus problemas (es precisamente esta unidad lo que hace que cada vez se empiece a usar más el término "Matemática" frente a "Matemáticas").

No obstante, las facultades de Matemática tienden a dividir entre Matemática Pura y Matemática Aplicada. Por Matemática Pura se entiende el estudio de la Lógica matemática, el Álgebra, la Topología, la Geometría, el Análisis y la Estadística (entendiendo como tal el estudio de la Probabilidad). Por Matemática Aplicada se entiende al uso de los conocimientos de las ramas anteriores para la resolución de problemas susceptibles de describirse en términos matemáticos, incluidos algunos problemas matemáticos de la Matemática Pura. La principal diferencia entre Matemática Aplicada y Matemática Pura es el uso de las soluciones aproximadas. Muchos problemas no pueden resolverse de forma exacta en un número finito de pasos (ya sea calcular, por ejemplo la raíz cuadrada del número 2 o resolver una ecuación en derivadas parciales).

En la Matemática Pura no se tiene en cuenta esta limitación, y su dedicación es la de determinar si los problemas tienen solución, si esta solución (en caso de que exista) es única, y si es posible determinar algún método para determinar cuál es esa solución. La Matemática Aplicada, por el contrario, asumiendo los resultados de las ramas puras, intenta encontrar métodos de aproximación a la solución ya que, como se ha apuntado antes, en la inmensa mayoría de los casos, los métodos de la Matemática Pura (cuando existen) exigen una cantidad infinita de pasos. La Matemática Pura, entonces, intenta encontrar una solución exacta, aun cuando en la práctica es imposible dar explícitamente esa solución. La Matemática Aplicada prefiere tomar una solución aproximada, que no es la solución exacta, pero que puede hallarse mediante una cantidad finita de pasos.

Estrictamente hablando, una solución aproximada no es una solución. Se comete un error, y una de las principales tareas de la Matemática Aplicada es "controlar ese error cometido", es decir, determinar procedimientos que nos permitan calcular o acotar el error cometido. Es esto lo que da por bueno un método o no, que el error cometido pueda ser asumido por el problema que se está estudiando sin representar una gran desviación del problema original.

Ramas

Las numerosas ramas de la matemática están muy interrelacionadas. He aquí una lista de secciones que podemos considerar en su estudio.

Fundamentos y Métodos

Filosofía de la matemática - Intuición matemática - Constructivismo matemático - Fundamentos de la matemática - Teoría de conjuntos - Subconjuntos flojos - Lógica simbólica - Modelo matemático - Teoría de categorías - Demostración matemática - Axiomática - Inducción

Investigación Operativa

Investigación operativa - Teoría de grafos - Teoría de juegos - Programación entera - Programación lineal - Simulación - Optimización - Método simplex - Programación dinámica

Números

Números - Número natural - Número entero - Número racional - Número irracional - Número real - Número complejo - Cuaterniones - Octoniones - Sedeniones - Números hiperreales - Números infinitos - Dígito - Sistema de numeración - Número p-ádico

Matemática del cambio

Cálculo - Cálculo vectorial - Análisis - Ecuación diferencial - Sistemas dinámicos y teoría del caos - Lista de funciones - Logaritmo

Análisis

Sucesiones - Series - Análisis real - Análisis complejo - Análisis funcional - Álgebra de operadores

Estructuras matemáticas

Álgebra abstracta - Teoría de números - Álgebra conmutativa - Geometría algebraica - Teoría de grupos - Monoides - Análisis - Topología - Álgebra lineal - Teoría de grafos - Teoría de categorías

Espacios

Topología - Geometría - Teoría de haces - Geometría algebraica - Geometría diferencial - Topología diferencial - Topología algebraica - Álgebra lineal - Cuaterniones y rotación en el espacio

Matemática finita

Combinatoria - Teoría de conjuntos - Probabilidad - Estadística - Teoría de la computación - Matemática discreta - Criptografía - Teoría de grafos - Teoría de juegos

Matemática aplicada

Mecánica - Cálculo numérico - Optimización - Matemática discreta - Estadística - Lógica difusa

Teoremas y conjeturas famosas

Teorema de Fermat - Hipótesis de Riemann - Hipótesis del continuo - clases de complejidad P y NP - Conjetura de Goldbach - Conjetura de los números primos gemelos - Teoremas de incompletitud de Gödel - Conjetura de Poincaré - Argumento de la diagonal de Cantor - Teorema de Pitágoras - Teorema fundamental del cálculo - Teorema Fundamental del Álgebra - Teorema de los cuatro colores - Lema de Zorn - Identidad de Euler.

Matemática recreativa

Cuadrado mágico - Papiroflexia

Conceptos erróneos

Lo que cuenta como conocimiento en matemática no se determina mediante experimentación, sino mediante demostraciones. No es la matemática, por lo tanto, una rama de la física (la ciencia con la que históricamente se encuentra más emparentada) puesto que la física es una ciencia empírica. Por otro lado, la experimentación desempeña un papel importante en la formulación de conjeturas razonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas.

La matemática no es un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución, así como una infinidad esperando su formulación.

Matemática no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes para los contables, los avances en matemática abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros.

Matemática no significa numerología. La numerología es una pseudociencia utiliza la aritmética modular para pasar de nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o significados esotéricos, basados en la intuición.

Véase también

  • Wikipedia:Clasificación Unesco de 6 dígitos/12 Matemática
  • Lista de enunciados matemáticos
  • Real Sociedad Matemática Española
  • Matemáticos
  • Tabla de símbolos matemáticos
  • Historia de la matemática
  • Filosofía de la matemática

Enlaces externos

  • Variados contenidos de matemáticas
  • Conexiones Matemáticas
  • Real Sociedad Matemática Española
  • Sitio Interactivo de Análisis Numérico
  • Historia de las Matemáticas (Astroseti)
  • Directorio de Matemáticas
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