Número π

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_%CF%80&oldid=5880048
Letra griega pi. Símbolo adoptado inicialmente en 1706 por William Jones y popularizado por Euler.
Letra griega pi. Símbolo adoptado inicialmente en 1706 por William Jones y popularizado por Euler.

π (pi) es una constante matemática cuyo valor es igual a la proporción existente entre el perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro, se emplea frecuentemente en matemática, física e ingeniería. El valor numérico de π truncado a sus diez primeras posiciones decimales, es el siguiente:

\pi \approx 3{,}14159\;26535\;\;...

La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro) de una circunferencia[1]. Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones[2] y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra "Introducción al cálculo infinitesimal" de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludoph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (No se debe confundir con el número de Arquímedes). El valor computado de esta constante ha sido conocido con diferentes precisiones a lo largo de la historia, de esta forma en una de las referencias documentadas más antiguas como la Biblia[3] aparece de forma indirecta asociada con el número natural 3 y en Mesopotamia los matemáticos la empleaban como 3 y una fracción añadida de 1/8. π es una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e, y es, tal vez por ello la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y amateur.

Visulización de la definición de π

Tabla de contenidos

Propiedades matemáticas

Definiciones

El área del círculo es π × r²
El área del círculo es π × r²

Es Euclides el primero en demostrar que la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia es constante[4]. Existen, no obstante, diversas definiciones más del número π; entre las más famosas se encuentran:

  • Es una proporción constante entre el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro. Ésta es la más clásica.
  • Es el área de un círculo de radio unidad
  • Pi es el menor número real x positivo tal que sen(x) = 0.

Irracionalidad y trascendencia

Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendental. Es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que π representa a un trascendental, con ello se cerró definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución. De forma derivada se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler[5] 1953), es decir que sin ser un número trascendental no se encuentra muy cercano a un número racional. (Stoneham 1970).

Las primeras 100 cifras decimales

A pesar de tratarse de un número irracional π se continúa investigando con la intención de averiguar la máxima cantidad posible de cifras tras la coma. Las 100 primeras cifras del número pi tras la coma son:


π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 9

Para ver secuencias mayores de este número consúltese las referencias así como A00796 y OEIS. La verdad es que en ciencia y en ingeniería esta constante puede emplearse la mayoría de las veces con una precisión simple de una docena de decimales, con 50 decimales se podría describir con precisión la curvatura del Universo con error más pequeño que el tamaño de un protón[6]

Historia del número pi

Una de las referencias documentadas más antiguas al número pi se puede encontrar en un versículo poco conocido de la Biblia:

'Hizo una fuente de metal fundido que medía 10 codos de diámetro: era completamente redonda, y su altura era de 5 codos y una línea de 30 codos lo rodeaba'. —(I Reyes 7, 23)

Se puede ver como una idea similar se puede encontrar en II Crónicas 4, 2. En él aparece en una lista de requerimientos para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 adC y su interés aquí radica en que da un valor de π = 3.

Época Egipcia

El empleo del número pi en las culturas antiguas se remonta al empleo que hacía el escriba egipcio Ahmes en el siglo 1800 adC y que se encuentra descrita en el papiro de Rhind[7] en el que emplea un valor de π afirmando que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir igual a los 8/9 del diámetro. Es decir que:

S = \pi r^2 \simeq \left( \frac{8}{9} \cdot d \right)^2 = \frac{64}{81} d^2 = \frac{64}{81} \left(4 l^2\right)

De esta aproximación mencionada por Ahmes se puede deducir por aproximación que π se puede aproximar a un valor racional:

\pi \simeq \frac{256}{81} = 3{,}1604 \ldots

Entre los ocho documentos matemáticos hallados hasta hoy en día de la cultura egipcia, en sólo dos se refieren a círculos. Uno es el papiro de Rhind y el otro es el papiro de Moscú, sólo en el primero se habla del cálculo del número π. El investigador Otto Neugebauer en un anexo de su libro "'The Exact Sciences in Antiquity'"[8] un método supuestamente inspirado por los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor aproximado de π mediante aproximación a un cuadrado de lado 8/9 del diámetro.

En la antigüedad dependiendo de la calidad del autor se manejaban diferentes valores, algunos matemáticos mesopotámicos empleaban en el cálculo de segmentos valores de π iguales a 3, en algunos casos se alcanzaban valores más refinados de 3 y 1/8.

Época Griega

Principio de Arquímedes para encontar dos cotas que se aproximen al número π.
Principio de Arquímedes para encontar dos cotas que se aproximen al número π.

El más renombrado es Arquímedes (siglo III adC) que fue capaz de determinar el número π entre el intervalo compredido por 3 10/71 como valor mínimo y 3 1/7 como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se llegaba a un valor con un error entre 0.024% y 0.040% sobre el valor real. El método empleado por Arquímedes[9] era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.

Claudio Ptolomeo en el siglo II proporciona un valor fraccionario por aproximaciones:

\pi \simeq \frac{377}{120} = 3{,}1416 \ldots

La matemática persa y china

El cálculo de pi fue una atracción para todas las culturas con matemáticos dedicados, de esta forma se tiene que el matemático chino Liu Hui estimó π con siete cifras como 3,141014 en 263 adC -estimación incorrecta a partir de la cuarta cifra decimal-, utilizando para ello un polígono de 192 lados, y fue el primero en sugerir[10] que 3,14 era una buena aproximación. Posteriormente estimó π como 3,14159 empleando un polígono de 3072 lados.

El matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi en el siglo V computó π entre 3,1415926 y 3,1415927 y dió dos aproximaciones racionales de de π: 355/113 y 22/7 muy conocidas ambas[11].

El matemático persa Ghiyath al-Kashi en el siglo XV fue capaz de calcular π con 9 dígitos empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2π = 6,2831853071795865.

Renacimiento europeo

A partir del siglo XII con el empleo de cifras arábigas en los cálculos se facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para π. El matemático Leonardo Pisano, en su “Practica Geometriae” amplifica el método de Arquímedes proporcionando un intervalo más estrecho. Algunos matemáticos en el siglo XVII como Vieta usaron polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse con buena precisión a 3,141592653.

Algunas aproximaciones históricas de π anteriores a la época computacional pueden verse en la siguiente tabla:

Año Matemático o documento Aproximación Error

(en partes por millón)

~1650 adC Papiro de Ahmes (Egipto) 28/34 ~ 3,1605 6016 ppm
~1600 adC Tablilla de Susa (Babilonia) 3 1/8 = 3,125 5282 ppm
~950 adC La Biblia (Reyes I, 7,23) 3 45070 ppm
~500 adC Bandhayana (India) 3,09 16422 ppm
~250 adC Arquímedes de Siracusa entre 3 10/71 y 3 1/7

empleó 211875/67441 ~ 3,14163

<402 ppm

13,45 ppm

~200 Claudio Ptolomeo 377/120 = 3,141666... 23,56 ppm
263 Liu Hui (China) 3,14159 0,84 ppm
263 Wang Fan 157/50 = 3,14 507 ppm
~300 Chang Hong (China) 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~500 Zu Chongzhi (China) entre 3,1415926 y 3,1415929

empleó 355/113 ~ 3,1415929

<0,078 ppm

0,085 ppm

~500 Aryabhata 3,1416 2,34 ppm
~600 Brahmagupta 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~800 al-Jwarizmi 3,1416 2,34 ppm
1220 Fibonacci 3,141818 72,73 ppm
1400 Madhava 3,14159265359
1424 Al-Kashi 2π = 6,2831853071795865 0,1 ppm


El matemático inglés John Wallis desarrolló en 1655 la conocida serie Producto de Wallis:

\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \dots = \frac{\pi}{2}.


De la misma forma Leibniz calculó de una forma más complicada en 1682 la siguiente serie que lleva su nombre:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots = \frac{\pi}{4}.

Época moderna (pre-computacional)

John Wallis, 1616–1703
John Wallis, 1616–1703
Leonhard Euler, 1707–1783
Leonhard Euler, 1707–1783

Cuando el galés William Jones en el año 1706 afirmó "3,14159 andc. = π". Leonhard Euler adoptó el conocido símbolo en 1737 e instantáneamente se convirtió en una notación estándar hasta hoy en día.

El matemático japones Takebe en el año 1722 empezó a calcular el número pi con el mismo método expuesto por Arquímedes y fue ampliando con polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar hasta 1.024 lados. Este ingente trabajo consiguió que se determinara pi con 41 decimales.

En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de π. Se dice que estaba tan orgulloso de esta hazaña que lo mandó grabar en su lápida. Los libros de matemática alemanes durante muchos años denominaron a pi como número ludofiano.

En 1789 el matemático de origen eslovaco Jurij Vega mediante la fórmula de John Machin descubierta en 1706 fue el primero en averiguar los primeros 140 decimales de π de los cuales 126 eran correctos, este récord lo mantuvo durante 52 años hasta que en 1841 William Rutherford calculó 208 decimales de los cuales 152 eran correctos.

El matemático aficionado de origen inglés William Shanks consumió cerca de 20 años de su vida calculando π con 707 decimales (evento acaecido en 1873). En el año 1944 D. F. Ferguson encontró un error en la posición decimal 528, y que todos los dígitos posteriores eran completamente erróneos. En 1947 Ferguson recalculó pi con 808 decimales con la ayuda de una calculadora mecánica.

Época moderna (computacional)

Desde la primera computadora ya se empezó a desarrollar programas para el cálculo del número pi con el mayor número de cifras posibles, de esta forma un ENIAC en 1949 fue capaz de romper todos los records actuales con 2037 lugares decimales (en 70 horas), poco a poco se fueron sucediendo los ordenadores que batían records y de esta forma pocos años después (1954) un NORAC llega a 3092 cifras, durante casi una década de los años 1960 los IBM fueron batiendo records hasta que un IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250000 cifras decimales (8 h 23 min). Durante esta época se probaban los nuevos ordenadores con algoritmos para la generación de series de números procedentes de π

Ya en la década de 2000 los ordenadores son capaces de sacar cifras record inmensamente grandes como en 2004 en el que fueron capaces de sacar 1,3511 billones de lugares decimales mediante el uso de un supercomputador Hitachi que llegó a trabajar sólo 500 horas para realizar el cálculo.

Año Descubridor Ordenador utilizado Número de cifras decimales
1949 G.W. Reitwiesner y otros ENIAC 2.037
1955   MORC 3.089
1959 Guilloud IBM 704 16.167
1967   CDC 6600 500.000
1973 Guillord y Bouyer CDC 7600 1.001.250
1981 Miyoshi y Kanada FACOM M-200 2.000.036
1982 Guilloud   2.000.050
1986 Bailey CRAY-2 29.360.111
1986 Kanada y Tamura HITAC S-810/20 67.108.839
1987 Kanada, Tamura, Kobo y otros NEC SX-2 134.217.700
1988 Kanada y Tamura Hitachi S-820 201.326.000
1989 Hermanos Chudnovsky CRAY-2 y IBM-3090/VF 480.000.000
1989 Hermanos Chudnovsky IBM 3090 1.011.196.691
1991 Hermanos Chudnovsky   2.260.000.000
1994 Hermanos Chudnovsky   4.044.000.000
1995 Kanada y Takahashi HITAC S-3800/480 6.442.450.000
1997 Kanada y Takahashi Hitachi SR2201 51.539.600.000
1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 68.719.470.000
1999 Kanada y Takahashi Hitachi SR8000 206.158.430.000
2002 Kanada y otros Hitachi SR8000/MP 1.241.100.000.000

En la época computacional del cálculo de pi las cifras se dispararon no sólo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas eran capaces de generar, sino que también era un prestigio y un reto para el constructor de la máquina que apareciera su marca en la lista de los records.

Fórmulas que contienen a π

En Geometría:

  • Circunferencia de radio r: C = 2 π r
  • Área del círculo de radio r: A = π r2
  • Área de la elipse con semiejes a y b: A = π ab
  • Área del cilindro: 2 πr(r+h)
  • Área de la esfera: 4 π r2
  • Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r3
  • Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes

En Probabilidad:

  • La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es: 6/π2
  • Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4
  • El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante)
  • Aguja de Buffon: Si lanzamos, al azar, una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: Lπ/2D

En Análisis matemático:

\sum_{n=0}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{n}}\over{2\,n+1}}}=\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} (fórmula de Leibniz)
\prod_{n=1}^{\infty }{{{4\,n^2}\over{4\,n^2-1}}}=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} (producto de Wallis)
\sum_{n=0}^{\infty }{{{2^{n}\,n!^2}\over{\left(2\,n+1\right)!}}}=1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots = \frac{\pi}{2} (Euler)
e^{\pi i} + 1 = 0\; (Identidad de Euler, también conocida como "la fórmula más importante del mundo")
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} (Fórmula de la campana de Gauss)
n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (Fórmula de Stirling)


\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} (Euler)
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}

Además, π tiene varias representaciones como fracciones continuas:

\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}
\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k\; 3^{\frac{1}{2} - k}}{2k+1}


Un número racional muy acercado a PI es:
\frac {355}{113} = 3.141592....

(Hay otras doce representaciones de π en http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/ )

Cómputos de π

Fórmula de Machín

Una forma exacta de poder calcular π en términos tangentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula de Machin descubierta en 1706:

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

Muchos matemáticos emplearon esta fórmula para averiguar dígitos por encima de la centena, un inglés llamado Shanks usó esta fórmula para calcular 707 posiciones decimales de π, publicando los resultados de muchos años de trabajo en 1873.

Métodos eficientes

Los primeros millones de dígitos de π y 1/π se pueden consultar en Proyecto Gutenberg (Véase los enlaces externos). Uno de los records más recientes (Diciembre de 2002) por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio fija el número pi con 1.241.100.000.000 dígitos, calculado durante unas 602 horas con un superordenador de 64 nodos Hitachi SR8000 con una memoria de un terabyte capaz de llevar a cabo 2 billones de operaciones por segundo, más de seis veces el record previo (206 mil millones de dígitos). Para ello se emplearon las siguientes fórmulas modificadas de Machin:

\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}
K. Takano (1982).
\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}
F. C. W. Störmer (1896).

Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan ingente de dígitos que puede decirse que ya no es útil sino para comprobar el funcionamiento de los superordenadores. La limitación no está en la computación sino en la memoria necesaria para almacenar una cadena con una cantidad tan grande de números.

Métodos estadísticos

Un método muy empleado por los iniciados se trata de la Aguja de Buffon, es un método sencillo para averiguar el valor de pi sabiendo de antemano la probabilidad de que una aguja de longitud l interseccione un entramado paralelo de rectas de distancia l. El método se debe al biólogo y matemático Buffon.

Aproximaciones geométricas a π

Es posible obtener una aproximación al valor de π de forma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron obtener sin éxito una solución exacta al problema del valor de π mediante el empleo de regla y compás. El problema griego conocido como cuadratura del círculo o, lo que es lo mismo, obtener un cuadrado de área igual al área de un círculo cualquiera, lleva implícito el cálculo del valor exacto de π.

Una vez demostrado que era imposible la obtención de π mediante el uso de regla y compás, se desarrollaron varios métodos aproximados. Dos de las soluciones aproximadas más elegantes son las debidas a Kochanski (usando regla y compás) y la de Marcheroni (empleando únicamente un compás).

Método de Kochanski

Se dibuja una circunferencia de radio R. Dentro de ella se inscribe un hexágono y se toma el triángulo OEG. Se traza una paralela al segmento EG que pase por A, prolongándola hasta que se corte con el segmento OE, obteniendo D. Desde el punto D y sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de la circunferencia y se obtiene el punto C. El segmento BC es aproximadamente la mitad de la longitud de la circunferencia.

Método de Kochanski

Demostración (suponiendo R = 1)

BC2 = AB2 + (3 - DA)2

OF= \frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{DA}{EF} = \frac{OA}{OF} => \frac{DA}{1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}/2} => DA=\frac{\sqrt{3}}{3}

Sustituyendo en la primera fórmula:

BC^2= 2^2+\left (3-\frac{\sqrt{3}}{3}\right )^2 => BC = \sqrt{40-6 \sqrt{3} \over 3}=3.141533...

Método de Mascheroni

Desarrollado por Lorenzo Mascheroni, se dibuja una circunferencia de radio R y dentro de ella se inscribe un hexágono. El punto D es la intersección de los arcos de circunferencia A'B con centro en A' y el arco AC con centro en A. El punto E es la intersección del arco BD con centro en B con la circunferencia. El segmento AE es aproximadamente un cuarto de la longitud de la circunferencia

Método de Mascheroni

Demostración (suponiendo R = 1)

AD=AC=\sqrt{3} OD=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}

BE=BD=\sqrt{(OD-MB)^2+MO^2}=\sqrt{\left( \sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\frac{1}{4}}=\sqrt{3-\sqrt{6}}

Por el teorema de Ptolomeo en el cuadrilátero ABEB'

BB' \cdot AE=AB \cdot EB' + BE \cdot AB'

2 \cdot AE= \sqrt{1+\sqrt{6}}+\sqrt{9-3 \cdot \sqrt{6}}=3.142399...

Véase también: algoritmo de Borwein

Curiosidades

Existen algunas curiosidades no científicas relacionadas directamente o indirectamente con este número.

Reglas nemotécnicas

Es muy frecuente emplear poemas como regla nemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi.

  • Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos es con este poema, sólo hay que contar las letras de cada palabra:

Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros

  • Otra versión, que permite enumerar los 27 primeros dígitos, es la siguiente:

    "¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!" Nótese que para el segundo 1 (3,14159...) se utiliza la letra griega π

  • Un tercer poema:

Voy a amar a solas, deprimido
no sabrán jamás que sueño hallarte,
perímetro difícil, escondido
que en mis neuronas late...
Oscuro el camino para ver
los secretos que tú ocultas
¿hallarlos podré?...

Existen cuentos amplios que son capaces de hacer memorizar una gran cantidad de dígitos, tal es el Cadaeic Cadenza escrita en 1996 por el matemático Michael Keith ofreciendo la posibilidad de memorizar los primeros 3834 dígitos. De esta forma tomando "A" como 1, "B" como 2, "C" como 3, etc., el nombre de la historia saca los dígitos de pi, como "Cadaeic" es la primera palabra de 7 dígitos de pi.:
C a d a e i c
3.1 4 1 5 9 3
Es de resaltar que en cada idioma existen diferentes reglas nemotécnicas (se aconseja visitar a cada Wikipedia para descubrir el arte empleado en cada idioma).

Aparición en medios

  • En el año 1998 aparece una película del director Darren Aronofsky denominada Pi (película) sobre un matemático que cree que el mundo se representa por números.
  • Alfred Hitchcock en su film Cortina rasgada hace aparecer el símbolo π como una organización de espionaje.
  • En la serie de dibujos The Simpsons (episodio Bye Bye Nerdie), "π es exacamente tres!" anuncio hecho por el profesor Professor Frink para poder atraer la atención de Lisa Simpson y de la mitad de los científicos.
  • En la serie Futurama aparecen diferentes referencias a π, tales como 'aceite π en 1', y 'compre en πkea'.
  • La novela Contacto de Carl Sagan —sobre la que luego se filmó la película homónima— toma a π (aunque no en base decimal) como un número que esconde la esencia misma del universo en forma de una muy larga secuencia de ceros y unos perdida en alguna parte del número.

Datos interesantes

Escultura de Pi en la ciudad de Seattle
Escultura de Pi en la ciudad de Seattle
  • El día 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la aproximación de π.
  • El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se marca también como el día pi en el que los fans de este número lo celebran con diferentes actuaciones. Curiosamente es el cumpleaños de Einstein.
  • 355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como una simulación ¡"cuasi-perfecta"!.
  • Los usuarios del buscador A9.com que eligen su tienda virtual como amazon.com ofrecen descuentos de (π/2)% en sus compras.
  • John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona π en una canción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada "Something Tells Me". La canción acaba con una letra como: "What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!".
  • El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se puede consultar en el Proyecto Gutenberg o en este enlace.
  • La numeración de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza según los dígitos de π. La versión del año 2002 se etiquetó con 3.141592
  • Se emplea este número en la serie de señales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por una civilización inteligente extraterrestre.
  • La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6 / π2
  • Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono en las 50.000.000 primeras cifras de π
  • En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantos dígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como: RealDigits[ N[ Pi, 105]] en 'Mathematica'.
  • En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial recitando durante 13 horas 83431 dígitos del número pi sin parar. Doblando el anterior record en posesión del también japonés Hiroyuki Goto.[12]
  • El máximo número de dígitos de π necesario para buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.
  • Existe una canción de Kate Bush llamada "Pi" en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número.
  • El día 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16:30 horas, el japonés Akira Haraguchi ha vuelto a romper su propio record recitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire.
  • En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es el número Pi: *3 14 16.[13]

Cuestiones Abiertas sobre π

  • Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ¿Tiene una aparición infinita en los decimales de π?
  • Cuestión denominada de Brouwer: En la expansión decimal de π, ¿Existe alguna posición donde exista una sucesión de mil ceros consecutivos?
  • ¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir, ¿qué hace que cada uno de los diez dígitos del sistema decimal tenga la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal?
  • ¿Es π normal en base 10? Es decir si tomamos un bloque de n dígitos con una ordenación cualquiera cualquiera de estos bloques ¿Tiene la misma probabilidad de aparición?
  • No se conoce si π+e, π/e , ln π son irracionales. Ni siquiera se sabe si pueden ser raíces de polinomios grado inferior a ocho y con coeficientes enteros mayores que 109 [14].

Demostraciones falaces

π es igual a dos

Una demostración falaz muy ingeniosa para demostrar que el valor de pi es igual a dos:

  1. Se tiene un segmento de lado unitario y sobre él se traza un arco de circunferencia de tal forma que su centro caiga sobre la mitad del segmento de longitud unidad. La longitud de dicha semicircunferencia es: π*(1/2) = π/2;.
  2. Tomamos sobre el mismo segmento dos semicircunferencias de radio 1/4 de tal forma que la longitud de dichas semicircunferencias es π/4+π/4 o lo que es lo mismo π/2;
  3. proseguimos con la división hasta el infinito nos encontramos con que las semicircunferencias convergen al segmento de lado unidad y que en cualquier caso la suma de la longitud de las semircunferencias es igual a π/2;. Por lo tanto se puede afirmar que π/2; es igual a 1, o lo que es lo mismo, π = 2.

Referencias

  1. G L Cohen and A G Shannon, John Ward's method for the calculation of pi, Historia Mathematica 8 (2) (1981), 133-144
  2. New Introduction to Mathematics, William Jones, 1706, London
  3. Biblia - Reyes 1 7:23
  4. Elementos. Euclides, Libro V
  5. Mahler, K. "On the Approximation of ." Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 30-42, 1953.
  6. Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Borwein, Jonathan M. (January 1997). "The Quest for Pi". Mathematical Intelligencer (1): 50-57.
  7. Gay Robins y Charles Shute: “The Rhind Mathematical Papyrus: an ancient Egyptian text”, British Museum Publications, London , 1987, véase “Squaring the Circle”, páginas 44 a 46
  8. "The Exact Sciences in Antiquity", Otto Neugebauer, 1957, Dover, New York ,(nueva edición de 1969).
  9. Petr Beckmann: “A History of Pi”, publicada por primera vez por The Golem Press, 1971, edición consultada por Barnes and Noble Books, New York , 1993.
  10. A Volkov, Calculation of π in ancient China: from Liu Hui to Zu Chongzhi, Historia Sci. (2) 4 (2) (1994), 139-157
  11. C Jami, Une histoire chinoise du 'nombre π', Archive for History of Exact Sciences 38 (1) (1988), 39-50
  12. Japonés impone un nuevo record recitando pi de memoria durante 13 horas
  13. http://www.mininterior.gov.ar/camarasenvivo/inicio.asp
  14. Bailey, D. H. "Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving π, e and Euler's Constant." Math. Comput. 50, 275-281, 1988a.

Enlaces externos

  • Historia del cálculo de Pi y algoritmos utilizados.
  • Página con un millón de decimales de π (en inglés)
  • Programa para el cálculo de π y de otro gran número de constantes (en Inglés)
  • Lista con los valores calculados con autores y valores (en Inglés)
  • Club de Amigos de Pi
  • Historia de Pi
  • Para buscar cualquier número entre las primeras 200.000.000 de cifras de Pi
...
Wikipedia:Wikiconcurso/edición 5

Navegación