Raíz cuadrada

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Raíz cuadrada de 2.
Raíz cuadrada de 2.

En matemática, la raíz cuadrada de un número x es el aquel número que, multiplicado con sí mismo es x. La raíz cuadrada de x se denota por \sqrt x. Por ejemplo, √16 = 4, ya que 4 × 4 = 16, y √2 = 1.4142135623730950488... . Las raíces cuadradas son importantes en la resolución de ecuaciones cuadráticas.

La generalización de la función raíz cuadrada a los números negativos da lugar a los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos.

El símbolo de la raíz cuadrada se empleó por primera vez en el siglo XVI. Se ha especulado con que tuvo su origen en una forma alterada de la letra r minúscula, que representaría la palabra latina "radix", que significa "raíz".

Tabla de contenidos

Propiedades

Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números positivos x, y:

\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}
\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
\sqrt{x^2} = \left|x\right|      \forall  x \in \mathbb{R} (véase valor absoluto)
\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; √x es racional si y sólo si x es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es 1² = 1, entonces se trata de un número natural. Sin embargo, √2 es irracional..

La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.

La raíz cuadrada en los números reales

Partes de la raíz cuadrada

En la imagen podemos ver cinco partes esénciales de la raíz cuadrada:

  • 1- Radical, no es más que el símbolo que indica que es una raíz cuadrada.
  • 2- Radicando, es el número al que se le obtendrá la raíz cuadrada.
  • 3- Renglón de la raíz cuadrada, ahí se distinguirá el resultado.
  • 4- Renglones auxiliares, nos ayudaran a resolver la raíz cuadrada.
  • 5- Residuo, es el número final del proceso para resolver la raíz cuadrada.

Formas de resolver la raíz cuadrada

Para resolver la raíz cuadrada existen varias formas

Algoritmo decimal

La forma más común y usual de resolver la raíz cuadrada es esta:

  • Paso 1: Se divide el número del radicando en dos cifras desde el punto decimal. Desde el punto decimal de derecha a izquierda y los números decimales de izquierda a derecha partiendo desde el punto decimal. Si del lado de los decimales hay un número que ya no alcanza a completar un grupo de dos se agrega un cero, por el contrario, si queda un número del lado entero se queda así. En la imagen de la derecha podemos ver el número 5836.369 dividido en grupos de dos cifras, después del número 9 se ha agregado un cero (en azul) pues en el lado decimal no puede haber un grupo de una cifra.
  • Paso 2: Se busca un número que elevado al cuadrado, es decir multiplicado por sí mismo, se aproxime o coincida con el número de las primeras dos cifras, este número no tiene que ser superado. Una vez encontrado el número se agrega a la parte de la raíz. En este caso el número sería el 7, porque 7 elevado al cuadrado es 49, no se podría otro número por que no alcanzaría lo suficiente o se pasaría del número solicitado.
  • Paso 3: El número que está en la raíz cuadrada se eleva al cuadrado y se le resta a las primeras dos cifras. Una vez obtenido el resultado de la resta, se baja el siguiente grupo de dos cifras y se multiplica por dos el número de la raíz y se agrega en el siguiente renglón auxiliar. En esta caso 7x7 es 49, al número 58 se le resta 49, el resultado es 9, después se baja el siguiente grupo que es 36, se multiplica por 2 el número de la raíz y se pone en el siguiente renglón auxiliar.
  • Paso 4: Se dividen las primeras dos cifras del residuo entre el número del renglón auxiliar, el resultado se agrega al número de la raíz y al del renglón auxiliar. Si el resultado de la división sale con números decimales solo se toma el entero. En este caso 93 se divide entre 14, el resultado es 6 y se agrega en los renglones de la raíz y del auxiliar.
  • Paso 5: Se multiplica el número obtenido de la división anterior por el número del renglón auxiliar. El resultado es restado al primer residuo. Una vez obtenido el resultado de la resta se baja el siguiente grupo de cifras, si el siguiente grupo está después del punto decimal se agrega un punto decimal al número de la raíz. En esta situación se tiene que multiplicar 6 por 146, el resultado es 876 y se le resta a 936. Lo obtenido de la resta se junta con el siguiente grupo que es 36. Como el 36 está después del punto decimal se le agrega el punto decimal después del 76, que es el número de la raíz.
  • Paso 6: Se multiplica por dos la cifra de la raíz y con el número resultante se divide el formado por las tres primeras cifras del tercer residuo. El resultado se agrega al número del tercer renglón auxiliar y al de la raíz. Se multiplica el número obtenido por el del tercer renglón auxiliar y se le resta al segundo residuo. Una vez realizada la resta se baja el siguiente grupo de cifras y se continúa el proceso, sólo que el número a dividir entre renglón auxiliar y residuo va aumentado.

En este caso 76 se multiplica por 2 y sale 152. Se divide 603 entre 152 y se obtiene 3, el tres se agrega al número de la raíz y al del segundo renglón auxiliar. Se multiplica 3 por 1523 y se obtiene 4569, este número se le resta al 6036 y se obtiene 1467. Después se baja el siguiente grupo y se continúa el mismo proceso.

  • Paso 7: Se continúa el mismo proceso, la raíz se vuelve a multiplicar por dos, si hay punto decimal en la raíz se ignora y se multiplica como número entero. El resultado de la multiplicación se agrega al tercer renglón auxiliar, se vuelve a dividir entre los primeros cinco números del tercer residuo entre el resultado de la multiplicación, y se obtiene la siguiente cifra para la raíz y el número del renglón auxiliar. Dicha cifra se multiplica por el número del tercer renglón auxiliar y se le resta al tercer residuo. Se continua el proceso, si ya no hay más cifras la raíz ha terminado. En este caso, 76.3 se multiplica por 2 como 763 (763x2) que nos da un resultado de 1526. 14679 (las primeras cifras de 146790) se divide entre 1526, lo que nos da un resultado de 9. El nueve se agrega en el renglón de la raíz y el tercer renglón auxiliar, y se multiplica 9 por 15269, lo que da un resultado de 137421, esta cifra se le resta a 146790 y nos da un resultado de 9369.

La raíz cuadrada de 5836.369 es 76.39, con un residuo de 9369. Recordemos que el cero es solo un auxiliar.

Algoritmo babilónico


El algoritmo babilónico aproxima un rectángulo a cuadrado
El algoritmo babilónico aproxima un rectángulo a cuadrado

Este algoritmo se centra en el hecho de que cada lado de un cuadrado es la raíz cuadrada del área. Primero se crea un rectángulo cuya área sea el número real positivo al que se le quiere encontrar la raíz y luego se aproxima la base y la altura del rectángulo hasta formar o aproximar un cuadrado.


Raíz(x):

  1. Escoja dos números b y h tales que bh = x
  2. Si h\approx b vaya al paso 6, si no, vaya al paso 3
  3. Asigne b:=\frac{h+b}{2}
  4. Asigne h:=\frac{x}{b}
  5. Vaya al paso 2
  6. Escriba "\sqrt x \approx b"

Este algoritmo aproxima la raíz cuadrada de cualquier número real tanto como se desee. Una definición alternativa es comenzar con b = x y h = 1 y de esta manera se puede redefinir así:


Raíz(x):

  1. Asigne b: = x
  2. Si b\approx \frac{x}{b} vaya al paso 5, si no, vaya al paso 3
  3. Asigne b:=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{b}+b\right)
  4. Vaya al paso 2
  5. Escriba "\sqrt x \approx b"


Este algoritmo también equivale a construir una división de dos polinomios que se aproxime más y más a la raíz cuadrada en cada iteración del paso 3, por ejemplo, hacer sólo cuatro iteraciones equivale a

\sqrt{x}\approx \frac{x^8+120x^7+1820x^6+8008x^5+12870x^4+8008x^3+1820x^2+120x+1}{16x^7+560x^6+4368x^5+11440x^4+11440x^3+4368x^2+560x+16}


Es posible definir una serie de funciones que equivale a este algoritmo de la siguiente manera

f0(x) = x
f_n(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{f_{n-1}(x)}+f_{n-1}(x)\right)

de manera tal que

f_\infty(x)=\sqrt{x}

La raíz cuadrada en los números complejos

En general, si x es un número real, se cumple la siguiente igualdad:

\sqrt{-x}=i\sqrt{x}

es decir, la raíz cadrada de un número negativo es necesariamente imaginario, eso es porque i2 = − 1 y entonces

\left(i\sqrt{x}\right)^2=i^2\sqrt{x}^2=(-1)x=-x

Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad

\sqrt{\pm ix}=\sqrt{\frac{x}{2}}\pm i\sqrt{\frac{x}{2}}

En general, para un número complejo expresado en forma rectangular, se obtiene

\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} \pm i \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}}

donde \left|x+iy\right| = \sqrt{x^2+y^2} (el valor absoluto o módulo del número complejo), y el signo de la parte imaginaria de la raíz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando.

Cada número complejo se puede escribir en su forma polar como reiθ, y ya que

ae^{i\alpha}\times be^{i\beta}=\left(ab\right)e^{i\left(\alpha+\beta\right)}

entonces es fácil ver que

\sqrt{re^{i\theta}}=\sqrt{r}~e^{i\frac{\theta}{2}}

Véase también

  • Raíz cuadrada de 2
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