การบวก

http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%9A%E0%B8%A7%E0%B8%81&...

การบวก (Addition) เป็นหนึ่งในการดำเนินการของเลขคณิต ในรูปแบบอย่างง่าย การบวกจะรวมสองจำนวน (พจน์, ส่วนของผลบวก) ตัวตั้งบวก และ ตัวบวก เป็นจำนวนเดียวคือ ผลบวก การบวกจำนวนหลายๆจำนวนนั้นเหมือนกับการบวกซ้ำๆกัน สำหรับการบวกด้วยจำนวนที่มีจำนวนศูนย์ หนึ่ง หรืออนันต์ สามารถดูนิยามได้ข้างล่าง

สำหรับนิยามของการบวกในจำนวนธรรมชาติ ดูใน การบวกใน N

ดูเพิ่มเติม: การนับ

สารบัญ

ลักษณะที่สำคัญ

การบวกจำนวนที่มีจำนวนจำกัดนั้น ไม่ว่าจะจัดกลุ่มของจำนวนและลำดับในการบวกอย่างไร ก็จะได้ผลลัพธ์เดียวกันเสมอ (ดูการเปลี่ยนหมู่ และ การสลับที่) ถ้าบวกศูนย์กับจำนวนใดๆ จำนวนนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลง ศูนย์เป็นสมาชิกเอกลักษณ์สำหรับการบวก ผลบวกของจำนวนใดๆกับตัวผกผันการบวก (ในกรณีที่มี) ของจำนวนนั้นจะเป็นศูนย์

สัญกรณ์

ถ้าทุกพจน์ถูกเขียนอย่างแยกกัน การบวกจะเขียนด้วยเครื่องหมายบวก ("+") เช่น ผลบวกของ 1, 2 และ 4 คือ 1 + 2 + 4 = 7 ถ้าพจน์ไม่ถูกเขียนอย่างแยกกันแล้ว ผลรวมอาจจะเขียนด้วยการละความสำหรับพจน์ที่ไม่ได้เขียน เช่น ผลบวกของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 คือ 1 + 2 + … + 99 + 100

อีกทางหนึ่ง ผลบวกสามารถแสดงด้วยสัญลักษณ์ผลรวม ที่เป็นซิกมาตัวใหญ่ ซึ่งมีนิยามดังนี้

\sum_{i=m}^{n} x_{i} = x_{m} + x_{m+1} + x_{m+2} + \dots + x_{n-1} + x_{n}

ตัวอักษรที่อยู่ข้างใต้เป็นการกำหนดตัวแปร i ในที่นี้ i หมายถึง ดัชนีของผลรวม m คือ ขอบเขตล่างของผลรวม และ n คือ ขอบเขตบนของผลรวม ตัวอย่างเช่น

\sum_{x=2}^{6} x^{2} = 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} = 90

เมื่อพิจารณาถึงผลบวกของพจน์ที่มีจำนวนเป็นอนันต์ ซึ่งเรียกว่าอนุกรมอนันต์ เราจะแทนที่ n จากข้างต้นด้วยสัญลักษณ์อนันต์ (∞) ผลบวกของแต่ละอนุกรมจะนิยามด้วยลิมิตของผลบวกของ n พจน์แรก และ n จะโตขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต เช่น

\sum_{i=m}^{\infty} x_{i}:= \lim_{n\to\infty} \sum_{i=m}^{n} x_{i}.

เราสามารถแทนที่ m ด้วย ด้วยอนันต์ลบได้

\sum_{i=-\infty}^\infty x_i:= \lim_{n\to\infty}\sum_{i=-n}^m x_i + \lim_{n\to\infty}\sum_{i=m+1}^n x_i,

สำหรับจำนวนเต็ม m บางตัว จะทำให้มีลิมิตทั้งสอง

ความสัมพันธ์กับตัวดำเนินการอื่นๆและค่าคงตัว

(รอเพิ่มเติมเนื้อหา)

ผลบวกที่มีประโยชน์

นี่เป็นเอกลักษณ์ที่มีประโยชน์

\sum_{i=1}^{n} i = \frac {n(n+1)}{2}
 (ดูใน อนุกรมเลขคณิต);
\sum_{i=1}^{n} (2i - 1) = n^2;
\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6};
\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2};
\sum_{i=N_1}^{N_2} x^{i} = \frac{x^{N_2+1}-x^{N_1}}{x-1} (ดูใน อนุกรมเรขาคณิต);
\sum_{i=0}^{n} x^{i} = \frac{x^{n+1}-1}{x-1} (กรณีพิเศษจากบ้างบน เมื่อ N1 = 0)
\sum_{i=0}^{\infty} x^{i} = \frac{1}{1-x}; (กรณีพิเศษจากบ้างบน เมื่อ \lim_{n\to\infty});
\sum_{i=0}^{n} {n \choose i} = 2^{n}  (ดูใน สัมประสิทธิ์ทวินาม);
\sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}.

โดยทั่วไป ผลบวกของ n พจน์แรก ที่ยกกำลัง m คือ

\sum_{i=0}^n i^m = \frac{(n+1)^{m+1}}{m+1} + \sum_{k=1}^m\frac{B_k}{m-k+1}{m\choose k}(n+1)^{m-k+1},

เมื่อ Bk คือ จำนวนแบร์นูลลี ที่ k.

นี่เป็นการประมาณที่มีประโยชน์ (ใช้สัญกรณ์ theta):

\sum_{i=1}^{n} i^{c} = \Theta(n^{c+1})  สำหรับทุกๆค่าคงตัว c ที่มากกว่า -1;
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} = \Theta(\log{n});
\sum_{i=1}^{n} c^{i} = \Theta(c^{n})  สำหรับทุกๆค่าคงตัว c ที่มากกว่า 1;
\sum_{i=1}^{n} \log(i)^{c} = \Theta(n \cdot \log(n)^{c})  สำหรับทุกๆค่าคงตัวที่เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ c ;
\sum_{i=1}^{n} \log(i)^{c} \cdot i^{d} = \Theta(n^{d+1} \cdot \log(n)^{c})  สำหรับทุกๆค่าคงตัวที่เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ c และ d;
\sum_{i=1}^{n} \log(i)^{c} \cdot i^{d} \cdot b^{i} = \Theta (n^{d} \cdot \log(n)^{c} \cdot b^{n})  สำหรับทุกๆค่าคงตัวที่เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ b > 1, c, d.

การประมาณด้วยปริพันธ์

การประมาณค่าการบวกของอนุกรมในกรณีที่สมาชิกในอนุกรมเป็นลำดับเพิ่มหรือเป็นฟังก์ชั่นเพิ่ม สามารถทำได้ด้วยความสัมพันธ์ระหว่างการบวกและปริพันธ์ดังแสดงในสมการต่อไปนี้

\int_{s=a-1}^{b} f(s)\, ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a}^{b+1} f(s)\, ds.

สำหรับการประมาณผลลัพธ์ของการบวกด้วยวิธีอื่นๆ ดูหัวข้อสมการของออยเลอร์-แมคคลอริน

ในดนตรี

(รอเพิ่มเติมเนื้อหา)

ดูเพิ่มเติม

  • การเพิ่ม
  • เครื่องหมายบวกและลบ
  • เครื่องหมายเท่ากับ
  • เลขคณิตมอดุลาร์

ลิงก์ภายนอก

  • การบวก


ป้ายบอกทาง
ภาษาอื่น