อนุพันธ์

http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%...
หัวข้อที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัส

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส | ฟังก์ชัน | ลิมิตของฟังก์ชัน | ความต่อเนื่อง | แคลคูลัสกับพหุนาม | ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย | แคลคูลัสเวกเตอร์ | แคลคูลัสเทนเซอร์

อนุพันธ์

กฎผลคูณ | กฎผลหาร | กฎลูกโซ่ | อนุพันธ์โดยปริยาย | ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

ปริพันธ์
การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า | การหาปริพันธ์เป็นส่วน | การหาปริพันธ์โดยการแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ | การหาปริพันธ์แบบจาน | การหาปริพันธ์ด้วยเชลล์ | การหาปริพันธ์แบบต่าง ๆ

ในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของแคลคูลัส (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือปฏิยานุพันธ์ ซึ่งคือตัวผกผันของอนุพันธ์)


สารบัญ

การหาอนุพันธ์ และการหาอนุพันธ์ได้

อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ในเชิงเรขาคณิต คือ ความชัน (slope) ของเส้นสัมผัส (tangent line) ของกราฟ f ที่ x. เราไม่สามารถหาความชันของเส้นสัมผัสจากฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยตรงได้ เพราะว่าเรารู้เพียงจุดบนเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือ (x, f(x)) เท่านั้น ในทางอื่น เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสด้วยเส้นตัด (secant line) หลายๆเส้น ที่มีจุดตัดทั้ง 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทางสั้น ๆ เมื่อหาลิมิตของความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ เราจะได้ความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น อาจนิยามอนุพันธ์ว่าคือ ลิมิตของความชันของเส้นตัดที่เข้าใกล้เส้นสัมผัส

เส้นสัมผัสที่ (x, f(x))
เส้นสัมผัสที่ (x, f(x))
เส้นตัดของส่วนโค้ง y= f(x) กำนหดโดยจุด (x, f(x)) และ (x+h, f(x+h))
เส้นตัดของส่วนโค้ง y= f(x) กำนหดโดยจุด (x, f(x)) และ (x+h, f(x+h))

เพื่อหาความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ ให้ h เป็นจำนวนที่มีค่าน้อยๆ h จะแทนการเปลี่ยนแปลงน้อยๆใน x ซึ่งจะเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น ความชันของเส้นที่ลากผ่านจุด (x,f(x)) และ (x+h,f(x+h)) คือ

{f(x+h)-f(x)\over h}

ซึ่งนิพจน์นี้ก็คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient). อนุพันธ์ของ f ที่ x คือ ลิมิตของค่าของผลหารเชิงผลต่าง ของเส้นตัดที่เข้าใกล้กันมากๆ จนเป็นเส้นสัมผัส:

f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}
เส้นสัมผัสคือลิมิตของเส้นตัด
เส้นสัมผัสคือลิมิตของเส้นตัด

สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์

จุดวิกฤต

อนุพันธ์ที่น่าจดจำ

  • สำหรับกรณีทั่วไป:
    • \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,C=0
    • \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^n = nx^{n-1}.
  • สำหรับฟังก์ชันลอการิทึม:
    • อนุพันธ์ของ ln x คือ \frac{1}{x}.
    • อนุพันธ์ของ \log_b x = \frac{1}{x\ln b}
  • สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:
    • \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}ex = ex
    • \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^x = a^x \ln a
  • สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
    • \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x=\cos x.
    • \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x = -\sin x.
    • \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x = \sec^2 x.
    • \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc x = -\csc x\cot x.
    • \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec x = \sec x \tan x.
    • \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot x = -\csc^2 x.

ฟิสิกส์

การจัดการทางพีชคณิต

สาวส งสยใวส

ใช้อนุพันธ์ในการเขียนกราฟ

นัยทั่วไป

ดูเพิ่ม

ลิงก์ภายนอก

อ้างอิง

ป้ายบอกทาง